京大生による大学受験攻略法!

現役京大生が勉強法や参考書を紹介します!また大学入試問題の解説も行なっています。

過去問は何年分やるべき??現役京大生がその質問に答えます!

こんにちは。今回は受験生にとって一番重要な過去問演習について解説していきたいと思います。

過去問演習の重要性

そもそもなぜ過去問をやらなくてはならないのでしょうか?その理由は単純明快で各大学の入試問題にはそれぞれ特徴があるからです。

例えば東大と京大は共に最難関大として知られていますが、その問題は大きく異なっています。例として英語を挙げてみましょう。

東大は要約・作文・文法・リスニング・和訳などなど様々なタイプの問題が出題され、短時間で多くの問題を処理しなくてはなりません。

一方京大は和訳2題と英作文2題と大変シンプルです(実は近年、説明問題や記号問題が登場したりと変化しているのですが、基本路線は変わっていません。)東大のように多くを短時間で処理するというより、時間をかけてじっくり問題を解いていくというスタイルです。

過去問は何年分やるべき?

結論から言うと、第1志望の過去問については最低10年分を時間を測って本番と同じ条件でやりましょう。

実際の入試では、自分が解けそうな問題から解いていくということをしなくてはなりません。やはり問題集で1題ずつ解くのと、(例えば)6題のセットの中から自分で取捨選択して解いていくのは大きく異なります。

模試などで、終わってから「ああ、あの問題から手を付ければよかった!!」みたいなことはよくあると思います。でも本番でそんなことしてたら落ちてしまいますよね!

なので過去問演習を通じてそういう力も養わなくてはいけません。私は自分の経験上、そうした訓練の為には最低10年分は必要だと考えます。

もちろん最新のものほど重要なので直近10年分ですよ!

過去問を"問題集"として使う

上で書いたように直近10年分は本番と同じようにやるべきです。ところが東大や京大などの難関大では10年分では演習量が足りないでしょう。

そこで登場するのがあの有名な25ヶ年です。

 

京大の理系数学25カ年[第9版] (難関校過去問シリーズ)

京大の理系数学25カ年[第9版] (難関校過去問シリーズ)

 

この25ヶ年は過去25年分の過去問が科目ごとに収められていて、必需品と言っていいでしょう。(ちなみに名大や東工大は15ヶ年が売られていたはずです。)

直近10年を除いた15年分はいわゆる問題集のように使いましょう。その際1題ずつ解いても、何題か自分でピックアップしてまとめて解いても良いと思います。

私は例えば数学なら、自分が苦手な分野の問題は集中的に解いていました。

まとめ

今回は過去問演習について解説しました。10+α年分は本番と同じように取り組み、加えて過去問を用いた問題演習を行うのがベストでしょう!

"世界一わかりやすい京大の数学"は超オススメ!

こんにちは。今回は京都大学を志望している人にオススメしている、"世界一わかりやすい京大の数学"について解説していこうと思います。

京大は他の大学とは一味違う独特な問題が出題されるので、京大に特化した対策を行っておくことは非常に重要です。

それでは具体的に本書を紹介していきます。

世界一わかりやすい京大の数学

世界一わかりやすい京大の理系数学

 

世界一わかりやすい京大の文系数学

 

レベル

京大に特化した参考書です。よって京大志望者以外はやる必要は無いでしょう。レベルとしては京大の過去問の標準レベルが集められています。

特徴

問題数は例題50題、類題50題の計100題(文系は36題ずつ計72題)。1テーマごとに例題と類題が1題ずつ載っている形式です。

本書の一番の特徴はその解説の詳しさです。個人的には、この参考書以上に解説の優れた本を知りません。

本書は各問題に、「理解」→「計画」→「実行」→「検討」*1というプロセスが詳細に述べられています。
多くの参考書のように唐突に解説が始まるのではなく、「どうやって問題を解きほぐすのか、どうしてそう式変形をしようと思ったのか」のような"頭の動かし方"が省略されずに書かれているので非常に分かりやすいです。

使い方

例題だけでなく類題も取り組むことをオススメします。問題を解く際は時間はあまり気にせずにじっくり解きましょう。

解答・解説を見る際は単に答え合わせをするのではなく、著者の”頭の動かし方”を自分で一緒に再現してみることが非常に重要です。

接続する本

本書は京大の過去問から問題が集められていますが、極端にレベルが高いわけではありません。よって新数学スタンダード演習レベルがしっかりと解けるようになっていれば、この本に手を出して良いと思います。

 

juken-taisaku.hatenablog.com

また、ハイレベル数学の完全攻略も解説が詳しくオススメです。本書の前でも後でもどちらでも問題ないでしょう。

 

juken-taisaku.hatenablog.com

まとめ

京大数学は「理解」や「計画」のプロセスが重要な問題が多く出題されます。本書をしっかりやり込めば、そうした問題を解きほぐす力がつくと思います。

 

最近発売された京大数学プレミアムについても後々記事にしようと思います!

 

*1:本書より引用

難関大志望者向け数学の参考書ルート

こんばんは。今回は難関大志望者に向けて数学の参考書のルートの例を紹介しようと思います。

ここでは難関大を私立は慶応大・早稲田大、国公立では旧帝大東工大と定義しておきます。

数学学習の全体像

詳しい参考書の紹介に入る前に数学学習の全体像を説明しておこうと思います。難関大の数学を突破するに当たって経るべきステップは

  1. 基礎をしっかり固める
  2. 標準問題を解けるようにする
  3. 応用力をつける
  4. 過去問で実践演習

この4つです。難関大志望者は基礎を軽視する傾向がありますが、それはよくない事です。土台がしっかりしていないと、いくら難しい問題に挑戦しても解けないしそこから学べることも多くありません。(かくいう私も基礎を軽視して失敗した人間です。)

次のパラグラフで具体的に各段階でどんな問題集に取り組むべきか紹介していきます。

具体的なオススメ問題集

基礎を固める時期にやるべきもの

この時期(=受験勉強の初期の段階)は入試数学における基礎事項を一通りマスターすることが最優先です。

したがって網羅性があって次の段階にスムーズに繋げるようなものである必要があります。これを満たしている物の中で私のオススメは青チャート・Focus Gold・1対1対応の演習です。

 

チャート式基礎からの数学3―新課程

チャート式基礎からの数学3―新課程

 

 

 

Focus Gold数学3

Focus Gold数学3

 

 

 

1対1対応の演習/数学3 微積分編 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学3 微積分編 (大学への数学 1対1シリーズ)

 

もちろん3つともやる必要は1ミリも無く、自分にあった物を1つ決めてしっかりやり込めば問題ありません。

どれをやるにしても1回転して終わりにするのでは無く、曖昧なところがなくなるまでしっかりやりましょう。ここでどれほど土台を固められたかで、次以降のステップに大きな影響を及ぼします。

大学への数学(東京出版)の雰囲気が自分に合うのであれば、1対1対応の演習をオススメします。次に紹介する新スタ演との相性が良いためです。

 

juken-taisaku.hatenablog.com

標準問題をクリアするためにやるもの

この段階では身につけた基礎力を生かして、大学入試標準レベルの問題を解いていきます。難関大では標準レベルが解ければ受かり、解けなければ落ちるというのがよくあることなのでしっかり演習を積みましょう。

私のオススメは新数学スタンダート演習理系数学の良問プラチカです。

 

理系数学の良問プラチカ 数学1・A・2・B (河合塾シリーズ 入試精選問題集 5)

理系数学の良問プラチカ 数学1・A・2・B (河合塾シリーズ 入試精選問題集 5)

 

 

 

新数学スタンダード演習 2018年 04 月号 [雑誌]: 大学への数学 増刊
 

 

どちらも標準レベルの演習にうってつけです。プラチカの方が問題数が少ないので手がつけやすいと思います。反面、解説は新スタ演に軍配が上がります。

1対1対応の演習から接続する場合は同じ東京出版の新スタ演をオススメします。

 

juken-taisaku.hatenablog.com

応用力をつけるためにやるもの

過去問前の最終段階としてやるのが、応用問題を解く演習です。とは言っても上記に書いた様に難関大といえど合否を分けるのは標準問題なので、充分な時間がなければこのセクションを飛ばして過去問演習に入っても良いと思います。もちろん時間があれば過去問前にこのセクションをしっかりこなせば力になります!

私がオススメしているのはハイレベル数学の完全攻略上級問題精構です。

 

ハイレベル 数学I・A・II・B の完全攻略 (駿台受験シリーズ)

ハイレベル 数学I・A・II・B の完全攻略 (駿台受験シリーズ)

 

 

 

数学I+A+II+B 上級問題精講

数学I+A+II+B 上級問題精講

 

どちらも極めてレベルの高い参考書です。ですが双方とも問題の質は高く、解説も非常に良いので演習価値は充分にあります。1冊をしっかりやり通せばかなり力になるでしょう。

難関大志望といえど通常はこれ以上難しい問題集に取り組む必要はないと思います。よってここまできたら過去問をガンガンときましょう。

過去問実践演習

ここまでのプロセスを踏んだらあとは志望校の過去問演習です。

 

京大の理系数学25カ年[第8版] (難関校過去問シリーズ)

京大の理系数学25カ年[第8版] (難関校過去問シリーズ)

 

東大や京大でしたら25カ年が出ているので25年分それ以外の大学でも15年分はやっておくと良いのではないでしょうか。

各大学によって傾向はかなり違うので自分の志望する大学の過去問を徹底的にやることは大切です。特に直近10年分は時間を計って本番と同じ様にやりましょう

まとめ

今回は難関大志望者向けに数学の参考書のルートの例を解説しました。何か質問等あったらお気軽にコメントどうぞ!

1対1対応の演習は基礎固めに最適

こんばんは。今回は東京出版から出ている1対1対応の演習について解説していこうと思います。受験界では非常に有名な参考書なので知っている方も多いと思いますが、ぜひ参考にして下さい。

1対1対応の演習

1対1対応演習/数学Ⅰ

 

1対1対応の演習/数学1 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学1 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

 

1対1対応の演習/数学A

 

1対1対応の演習/数学A 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学A 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

 

1対1対応の演習/数学Ⅱ

 

1対1対応の演習/数学II 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学II 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

 

1対1対応の演習/数学B

 

1対1対応の演習/数学B 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学B 新訂版 (大学への数学 1対1シリーズ)

 

 1対1対応の演習/数学Ⅲ 曲線・複素数編、微積分編

 

1対1対応の演習/数学3 曲線・複素数編 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学3 曲線・複素数編 (大学への数学 1対1シリーズ)

 

 

1対1対応の演習/数学3 微積分編 (大学への数学 1対1シリーズ)

1対1対応の演習/数学3 微積分編 (大学への数学 1対1シリーズ)

 
レベル

大学受験で数学を必要とする全ての人(ただしセンターのみでしか数学を使わない人は除く)が対象です。特に難関大を目指す人が受験勉強の初期にやる1冊目の問題集として最適です。

特徴

例題数は数Ⅰが53題、数Aが54題、数Ⅱが83題、数Bが59題、数学Ⅲが2冊合わせて111題です。上記の例題に加えてほぼ同数の演習問題もついています。

本書は他の東京出版の著書同様解説が大変優れています。大学受験の数学を解くに当たってキチンと理解しておかないといけない事が一通り網羅されているので、基礎固めをするのにもってこいの参考書です。

新スタ演などと同様、数学が得意or好きな人には向いている反面数学が苦手or嫌いな人には少々キツイかもしれません。

使い方

時間があれば例題と演習題を両方やるのが良いですが、時間が無ければ例題だけでも相当効果があると思います。

また、「他の分野は問題ないけど、確率は基礎がわかってない…」のような人が自分の苦手な部分を補強するためにその分野の部分だけ解くという使い方もありでしょう。

”受験数学で理解しておくべきこと”を自分のものにするのが本書をやる意義なので、1周して終わりにするのではなく、自分の中で定着したなと思えるまでやることをオススメします。

接続する本

教科書や教科書傍用問題集レベルが全く問題無い人は、1冊目として本書をやって大丈夫だと思います。

中堅大志望の人などで、さらに基礎的な事がおぼつかない人は教科書傍用問題集や黄チャートなどさらに易しいものから始めましょう。

本書の後にやるものとして同じ東京出版の新数学スタンダート演習が挙げられます。これについては下の記事で詳しく解説しているのでそちらを参考にして下さい。

 

juken-taisaku.hatenablog.com

 

まとめ

今回は難関大受験生から人気の高い1対1対応の演習について解説しました。どの科目も基礎をしっかりと固める事が極めて重要なので、本書で揺るぎない基礎力を身につけて欲しいです。

新数学スタンダード演習は問題演習に最適!

こんばんは。今日は大学への数学でおなじみの東京出版から出ている新数学スタンダート演習について解説していこうと思います。

新数学スタンダード演習

新数学スタンダード演習

 

新数学スタンダード演習 2018年 04 月号 [雑誌]: 大学への数学 増刊
 

 数学Ⅲスタンダード演習

 

数学3スタンダード演習 2018年 05 月号 [雑誌]: 大学への数学 増刊

数学3スタンダード演習 2018年 05 月号 [雑誌]: 大学への数学 増刊

 
レベル

難関大を志望している人向け。具体的には私立だと早稲田・慶應、国立だと旧帝大東工大・医学部を志望している人向けです。

特徴

問題数は数1A2Bが254題、数3が135題計389題と相当のボリュームがあります。

また、この問題集の特徴として各問題にA、B、C、Dの4段階の難易度が付けられていることが挙げられます。よって場合によってはC問題だけ解く、とかB問題だけ解くのような使い方も可能です。(個人的には、時間が十分にあるのであれば全問解くことをオススメします。)

さらに解答の目安時間が各問題に付けられているのも高評価です。もっとも現時点では時間内に解くことよりも、頭をフル回転させてじっくり解くことが重要なので目安時間はあくまで参考にするのが良いと思います。

問題の背景やより進んだことが随所に述べられているので、数学が好きな人にはかなりオススメですが、反面苦手な方には少々辛いかもしれません。

使い方

前述した通り非常にボリュームがあるので計画的にやらないと消化不良を起こしてしまいます。1日3題で130日(約4ヶ月)、1日4題で100日(約3ヶ月)ほどかかります。この手の問題集は1週して終了ではなく、できなかった部分を改めて解き直したりして初めて威力を発揮するので実際には4~6ヶ月ほどかかるのではないでしょうか。(もちろん他の科目との兼ね合いや、長期休みだと1日あたりに解ける題数も増えるのでご自身でシミュレーションしてみることをオススメします。)

いずれにせよ、やり直しにまで手が回るようにしっかりと計画を立てて取り組みましょう。

接続する本

この参考書をやる前に、同じ東京出版から出ている1対1対応の数学数研出版青チャートなので基礎を固めて置くことが重要です。特に1対1対応の数学は本書と雰囲気が近いのでオススメと言えます。

この参考書のあとにやるものとしては駿台文庫のハイレベル数学の完全攻略や河合出版のやさしい理系数学が挙げられます。ハイレベル数学の完全攻略については以下の記事で詳しく説明しているので参考にして下さいね〜。

 

juken-taisaku.hatenablog.com

まとめ

本書は問題数が多く取り組むには覚悟がいるかもしれません。しかし質は非常に高いので腰を据えて取り組んでみて下さい!

他にも解説してほしい参考書や解説してほしい入試問題があれば遠慮なくコメントして下さいね。

京大理系数学2016第2問 解説

こんばんは。今日は2016年度の京都大学理系第2問を解説していこうと思います。今回も前回に引き続き整数問題を扱います。前回の記事はコチラ。 

 

juken-taisaku.hatenablog.com

 

問題

素数p,qを用いて、p^q+q^pと表される素数を全て求めよ。

解説

方針

前回の記事でも言ったようにこの手の整数問題は実験をしてみるのが定石です。

ただこの問題の場合、具体的な数値代入前に簡単な考察をしてみるのが良いと思います。(もちろん分からなかったらすぐ数値代入をしてしまってそこから推測しても大丈夫です。)

というのも素数というのは2以外は全て奇数です。今p^q+q^pというのは明らかに2より大きいのでその時点でこの値は奇数ということがわかります。さらに足して奇数になるのは偶数+奇数の場合のみなのでp^qq^pのどちらかは偶数であるとわかります。(pqの対称性からどちらを偶数としても問題ないので、今はp^qを偶数としましょう。)

するとp^qが偶数になるのはp=2とすぐにわかります。なぜなら奇数の偶数乗や奇数の奇数乗は奇数だからです。さらにq=2とすると偶数+偶数=偶数となってしまうのでq\neq2であることもわかります。

よって我々はp=2かつqが3以上の素数の時だけを実験すれば良いですね!

p=2,q=3のとき p^q+q^p=2^3+3^2=17 素数
p=2,q=5のとき p^q+q^p=2^5+5~2=57 素数でない
p=2,q=7のとき p^q+q^p=2^7+7^2=177 素数でない
p=2,q=11のとき p^q+q^p=2^{11}+11^2=633 素数でない

どうやら条件を満たすのはp=2,q=3の時だけで、それ以外では3の倍数になってそうですね!あとはこれらをきちんと解答にするだけです。

解答

p^q+q^pは明らかに2より大きく、かつ素数なので奇素数である。足して奇数になるのは奇数+偶数のみであり、pqの対称性からp^qを偶数として良い。

奇数の奇数乗や奇数の偶数乗は奇数なのでp^qが偶数となるのはp=2の時。

q=2とするとq^pも偶数となってしまうのでq\neq2

以下でq\geqq5の時2^q+q^2が3以外の3の倍数であることを示す。まず明らかにこの値は3より大きい。さらに2項定理より整数Mを用いて、2^q=(3+(-1))^q=3M+(-1)^q=3M-1とかける。よって2^q\equiv-1(mod3)である。

またqは5以上の素数なのでq\equiv\pm1(mod3)

よってq^2\equiv(\pm1)^2=1(mod3)

以上より2^q+q^2\equiv-1+1=0(mod3)すなわち3以外の3の倍数であることがわかった。

 

q=3のとき p^q+q^p=2^3+3^2=17 で素数

よってpqの対称性も考えると、答えはp=2,q=3p=3,q=2

最後に

この問題も京大の整数問題の中では手がつけやすい方の問題だと思います。具体的に実験→抽象化というのはとても大事なプロセスなのでしっかり身につけてくださいね!

京大理系数学2018第2問 解説

こんばんは。今日は2018年度の京都大学理系第2問(ちなみに文系第3問も同じ問題)を解説していこうと思います。

問題

n^{3}-7n+9素数となるような整数nを全て求めよ。

解説

この問題は2018年の理系数学の中で最も手が手が付けやすかったのでは無いでしょうか。京大志望者は整数問題についてはしっかりと対策しているはずなので、この問題はしっかりと完答しきってほしいです。

方針

整数問題はずっと眺めていても何も起こらないので、まずは実験してみるのが定石です。とりあえずは小さな値を代入して見ましょう。

n=-4のとき (-4)^{3}-7\cdot(-4)+9=-27 素数でない
n=-3のとき (-3)^{3}-7\cdot(-3)+9=3 素数
n=-2のとき (-2)^{3}-7\cdot(-2)+9=15 素数でない
n=-1のとき (-1)^{3}-7\cdot(-1)+9=15 素数でない
n=0のとき 0^{3}-7\cdot0+9=9 素数でない
n=1のとき 1^{3}-7\cdot1+9=3 素数
n=2のとき 2^{3}-7\cdot2+9=3 素数
n=3のとき 3^{3}-7\cdot3+9=15 素数でない
n=4のとき 4^{3}-7\cdot4+9=45 素数でない

こんな感じで代入してみると「素数になるのはn=-3,1,2のときのみでそれ以外では素数にならなそう」という予測が容易に立ちますね!さらに「この値は全て3の倍数になっていて、先程の3つのみが3(=3の倍数かつ素数)でそれ以外は3でない3の倍数(つまり素数でない)」という予想も立ちます。

よって私たちは

  • この式の値は3の倍数
  • 式の値が3になるのはn=-3,1,2の時のみ

という2点を証明すれば良いわけです。では方針がたったので実際に解いて行きましょう!その際合同式を使うとラクできます!

解答

n\equiv-1,0,1(mod3)である。ここで
n^{3}-7n+9\equiv(-1)^3-7\cdot(-1)+9=15\equiv0          n\equiv-1のとき
n^{3}-7n+9\equiv0^3-7\cdot0+9=9\equiv0                      n\equiv0のとき
n^{3}-7n+9\equiv1^3-7\cdot1+9=3\equiv0                      n\equiv1のとき

であるので、全ての整数nについて式の値が3の倍数であることが示せた。

n^{3}-7n+9=3とする。
この式を因数分解すると(n-1)(n-2)(n+3)=0なのでこれを満たす
nn=-3,1,2のみ。それ以外のnでは式の値は3でない3の倍数なので素数ではない。

よって求めるnn=-3,1,2

最後に

2018年のセットではこれが一番取りやすい大門なのでまず完答しきって弾みをつけたいですね。京大は整数問題が頻出なのでしっかり演習しておきましょう!

もし解説してほしい入試問題があったらコメントしてくださいね〜。できる限り対応します!